Analysis 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im by Otto Forster PDF

By Otto Forster

ISBN-10: 3834823732

ISBN-13: 9783834823731

ISBN-10: 3834823740

ISBN-13: 9783834823748

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik correct sind. Der textual content wurde für die 7. Auflage weiter überarbeitet und es kamen einige neue Aufgaben und Abbildungen sowie ein Symbolverzeichnis hinzu.

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Die Komposition zweier messbarer Abbildungen f g (:, A) −→ (: , B) −→ (: , C) ist wieder messbar. Dies folgt daraus, dass (g ◦ f )−1(Z) = f −1 (g−1 (Z)) f¨ur alle Teilmengen Z ⊂ : . h. B = E V. Um nachzuweisen, dass eine Abbildung f : (:, A) → (: , B) messbar ist, gen¨ugt es offenbar zu verlangen, dass f −1 (E) ∈ A f¨ur alle E ∈ E, denn f¨ur alle X , Xi ∈ P(: ) gilt f −1 ( f −1 ( f −1 (: [ \ Xi ) = Xi ) = [ \ X) = : f −1 (Xi ), f −1 (Xi ), f −1 (X ). O. B. : = Rn und : = Rm ). Wir versehen : und : jeweils mit den V-Algebren der Borelschen Mengen.

Sei M irgend eine reelle Zahl mit M < z(A). Dann existiert ein m 1 mit M < z(A˜ m ). S Wegen A˜ m ⊂ m k=1 Ak ⊂ A folgt M < z(A˜ m ) z m [ Ak z(A). d. m→f § 3 Fortsetzung eines Pr¨amaßes zu einem Maß 26 ¨ d) Ahnlich wie in b) beweist man z(A1 ∪ A2 ) Induktion z m [ z(A1 ) + z(A2 ), und durch vollst¨andige m ¦ z(Ak ) Ak k=1 k=1 1. Durch Limes-Bildung m → f erh¨alt man wegen c) die Behauptung. f¨ur alle m ¨ Außeres Maß Nachdem wir das Pr¨amaß z : A → R+ auf A↑ fortgesetzt haben, deſnieren wir jetzt damit ein sog.

Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz konvergiert die Folge der Mk gegen eine Borel-messbare Funktion M : [a, b] → R und es gilt Z [a,b] M(x)dO(x) = lim k Z [a,b] Mk (x)dO(x) Ebenso konvergiert die Folge der \k gegen eine Borel-messbare Funktion \ : [a, b] → R mit Z [a,b] \(x)dO(x) = lim k Z [a,b] \k (x)dO(x) Da aber das Lebesguesche und Riemannsche Integral f¨ur die Funktionen Mk , \k u¨ bereinstimmen, folgt Z [a,b] Da M Z M(x)dO(x) = \, ist \ − M f [a,b] Z b a f (x)dx = Z [a,b] \(x)dO(x) 0.

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4.4

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